Matemáticas del Mundial 2026

¿Por qué este Mundial tiene 48 selecciones? ¿Por qué terceros de grupo pasan a octavos de final en unas ediciones y en otras no? Aunque pueda parecer una decisión puramente deportiva, la respuesta depende de unas reglas matemáticas muy concretas. Múltiplos de cuatro, potencias de dos y algunos problemas combinatorios clásicos se esconden detrás del mayor torneo de fútbol del mundo.

Las matemáticas están en todas partes y en el deporte son fundamentales tanto en su diseño como en las estadísticas o estrategias que idean los entrenadores para ganar. En el caso del Mundial, hay cifras muy concretas que determinan su desarrollo.

Puntos para el ganador

Desde 1986, los equipos seleccionados disputan por primera vez la llamada fase de grupos, en la que se forman grupos de 4 equipos. Juegan todos contra todos y tras la realización de 6 posibles partidos se dividen según el resultado.

Cada partido (desde el Mundial de Estados Unidos 1994) suma 3 puntos al ganador y 0 al perdedor, o 1 punto a cada equipo en caso de empate. Con estos criterios, cada grupo finaliza esta fase clasificando a sus 4 equipos, poniendo en primera posición el de mayor puntuación, y así sucesivamente.

Una vez finalizada la fase de grupos, los 2 o 3 mejores equipos de cada grupo ingresan a las rondas eliminatorias donde se juegan varios partidos simultáneamente, cada uno de los cuales enfrenta a dos equipos entre sí en un solo partido.

El ganador de cada uno de estos juegos pasa a la siguiente ronda, que se lleva a cabo según el mismo procedimiento que la anterior, pero con la excepción de que ahora solo participan la mitad de los equipos que estuvieron en la ronda anterior.

Cuando quedan solo 4 equipos se juegan 2 semifinales: los ganadores de las semifinales compiten en la final (y de ahí se obtiene el campeón y subcampeón del Campeonato del Mundo), y los perdedores compiten por el tercer puesto.

A partir de esta base, las matemáticas fuerzan ciertos eventos.

¿Cuántas selecciones participan en el Mundial?

Este número no es fijo y ha cambiado a lo largo de los años. Si nos fijamos en los campeonatos del mundo que tienen la misma estructura que el actual, se pasó de 24 (EE.UU. 1994) a 32 (Francia 1998 – Qatar 2022) hasta llegar a 48 selecciones en el actual Mundial. Quizás nos preguntemos qué tienen en común estos números, 24, 32 y 48, o por qué fueron elegidos ellos y no otros.

La respuesta está en la fase de grupos: el número inicial de participantes debe ser múltiplo de 4 para que sea posible formar grupos de 4 equipos. De esta forma se forman 6 grupos con 24 equipos; con 32 se forman 8 grupos; y con 48 aparecen 12 grupos.

Como vemos, podría haber Mundiales con 28 equipos, 36, 40… siempre y cuando los grupos de 4 participantes se celebren en la fase de grupos. No parece haber ningún cambio en esto: la estructura del grupo de 4 equipos se mantiene desde 1950, aunque el desarrollo después de la fase de grupos ha cambiado.

¿Cuántos terceros del grupo pasan a octavos de final tras la fase de grupos?

En el Mundial de 1994, además de los 2 primeros de cada grupo, pasaron los 4 mejores terceros de 6 grupos.

Entre 1998 y 2022, ningún tercer clasificado del grupo pasó a la siguiente fase, mientras que este año hubo 8 terceros clasificados que lograron pasar a las rondas eliminatorias. ¿Por qué está cambiando este número?

En este caso la clave no está en el número 4, sino en el número 2.

Para entenderlo, vayamos al revés: de la final del Mundial a la fase de grupos, teniendo en cuenta que en cada ronda hay el doble de selecciones que en la anterior.

La final se juega entre 2 equipos; 4 participan en las semifinales; Hay 8 en cuartos de final y 16 en octavos de final.

Te recordamos que el Mundial de 2026 es el primero de la historia donde se disputaron los octavos de final, con 32 selecciones. Los números 2, 4, 8, 16 y 32 son potencias de 2 porque se obtienen como 2¹, 2², 2³, 2⁴ y 2⁵ respectivamente, siendo cada número el doble del número anterior.

Es decir, para poder pasar a octavos de final necesitamos tener un número de equipos clasificados que sea una potencia de 2. Si solo se permite pasar a 2 equipos por grupo es posible que no lleguemos a estos números, ya que dependerá del número de grupos que tengamos. Ese fue el caso en 1994, cuando había 6 grupos. Al clasificar 2 equipos por grupo (2 primeros), hay 12 equipos para las rondas eliminatorias. Como el número 12 no es Tier 2, fue necesario sumar 4 equipos más (mejores terceros) para llegar al número 16 y así iniciar los octavos de final.

Entre 1998 y 2022, con 32 equipos en el Mundial, no hubo necesidad de elegir un tercero porque los 16 equipos que jugaron los octavos de final fueron seleccionados directamente de los 2 seleccionados por grupo.

Este año se jugó la final de octavos, por lo que después de la fase de grupos fue necesario elegir 32 equipos. Para llegar a esta cifra, a partir de los 48 equipos iniciales divididos en 12 grupos, hubo que seleccionar 8 tercios, que junto a los 24 procedentes del primer y segundo equipo de cada grupo conforman los 32 necesarios para los octavos de final.

El Mundial de 64 equipos (2⁶) no debería recurrir a terminar terceros en cada grupo. ¿Lo veremos dentro de unos años?

Como información adicional, 4 torneos de tenis Gram Slam (Roland Garros, Wimbledon, Abierto de Australia y Abierto de Estados Unidos) están regulados únicamente por rondas eliminatorias y en cada sorteo participan 128 (2⁷) tenistas (hombres y mujeres).

¿Cuántos puntos puede sumar un equipo en la fase de grupos?

Hay que recordar que cada equipo juega 3 partidos y en cada uno de ellos puede sumar 3 puntos si gana (G), 1 punto si empata (E) o 0 puntos si pierde (P). Por tanto, para responder a esta pregunta, debemos averiguar cuántos juegos podemos ganar, empatar o perder si jugamos 3, y luego sumar los puntos asociados a cada posibilidad encontrada. En esta situación no importa el orden de victorias o derrotas, solo importa cuál fue el resultado final de los 3 juegos.

Contar las opciones posibles en un problema determinado es común en la investigación matemática. La disciplina que lo analiza es la combinatoria y generalmente es de difícil acceso. Para problemas combinatorios como este es importante tener una estrategia para asegurar que no perdemos ningún caso ni lo repetimos en el conteo. En nuestra tarea contaremos cuántos juegos se pueden ganar (tres, dos, uno y cero) y por si acaso qué pasa con los que no ganamos, empezando siempre con empate. Entonces obtenemos la siguiente serie de opciones ordenadas de mayor a menor, donde el significado más alto significa ganar el partido y el significado más bajo perder el partido.

Los puntos asociados a cada posibilidad son: 9, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 0. La puntuación más baja posible.

Ningún equipo puede conseguir nunca 8 puntos en la fase de grupos, y 3 puntos se pueden ganar de dos formas diferentes: ganando 1 partido y perdiendo 2, o empatando los 3 partidos.

Una cuestión mucho más difícil es saber cuáles podrían ser los resultados finales de los 4 equipos al finalizar la fase de grupos, es decir, cómo se pueden agrupar los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 9 en grupos de 4, según las reglas de puntuación.

No todas las posibilidades son válidas porque tenemos que considerar, por ejemplo, que si un equipo ganó un partido es porque el otro equipo lo perdió.

El gráfico muestra todos los resultados obtenidos de 74 grupos desde 1994 junto con su frecuencia. El grupo con la puntuación más baja fue el Grupo E (México, Irlanda, Italia y Noruega) en el Mundial de 1994: sus cuatro miembros recibieron 4 puntos, lo que corresponde a una victoria en 1 partido y un empate, y esto ocurrió sólo una vez.

Lo dejamos como pregunta abierta: ¿existe alguna combinación de puntos inferiores a (4,4,4,4) con el sistema de puntuación actual? ¡Hagamos los cálculos!