Una hoja de papel como herramienta de aprendizaje: origami y matemáticas

Las matemáticas a menudo se perciben como una disciplina abstracta, llena de símbolos, fórmulas y reglas que muchas veces parecen alejadas de la realidad. Sin embargo, esta abstracción no aparece de forma espontánea: debe apoyarse en experiencias concretas que permitan la visualización, la investigación y la experimentación.

Aquí es donde entran en juego las manipulaciones. Lejos de ser exclusivos de la educación infantil o primaria, siguen siendo necesarios en la escuela media y secundaria, donde los contenidos se vuelven más formales. Y, en muchos casos, la diferencia entre memorizar y comprender es poder “ver” lo que se aprende.

¿Qué pasaría si te dijera que una simple hoja de papel puede ayudar a desarrollar esa comprensión?

Aprende matemáticas doblando papel

Imaginemos, por un momento, que estamos en una clase de matemáticas donde, en lugar de escuchar fórmulas y reglas, aprendemos conceptos matemáticos simplemente doblando papel. Suena divertido, ¿verdad?

Esto puede parecer demasiado complejo o difícil de implementar, pero no lo es. Lejos de ser una simple artesanía, el arte del plegado de papel, más conocido como origami, puede convertirse en un auténtico taller de descubrimientos matemáticos.

Todos, en algún momento, hemos hecho un avión de papel o un barco de papel, una mariposa o el famoso gato. ¿Pero éramos realmente conscientes de que mientras jugábamos y doblamos papel siguiendo nuestra intuición o instrucciones sencillas, estábamos haciendo matemáticas?

Comecocos y pajaritas elaborados por un alumno de Educación Primaria de la Universidad Rey Juan Carlos.

Para quienes siempre se han sentido alejados de este asunto, probablemente no; Asociar diversión con matemáticas no suele ser habitual. Sin embargo, la realidad es otra: cada pliegue de papel implica dividir superficies, crear ángulos o identificar simetrías, entre muchos otros conceptos matemáticos.

El papel deja entonces de ser un simple objeto y se convierte en una herramienta para pensar, experimentar y comprender las matemáticas de una manera más visual, tangible y, sobre todo, significativa.

Mucho más que geometría

Aunque el origami tiene una base geométrica clara -hasta el punto de que existen sistemas formales de plegado con axiomas propios- su potencial educativo va mucho más allá.

Con la hoja de papel también podrás trabajar fracciones y proporciones, patrones y regularidades numéricas, representaciones de números reales, demostración de teoremas, resolución de ecuaciones e incluso conceptos sobre probabilidad.

Y no solo eso: el origami también puede utilizarse en un contexto científico, de ingeniería y tecnológico, contribuyendo así al desarrollo de la competencia STEAM (acrónimo de Science, Technology, Engineering, Art and Mathematics en inglés). Por ejemplo, en educación es útil ilustrar fenómenos físicos, como el centro de gravedad o el trabajo de un resorte.

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¿Qué pasa en el aula? Algunos ejemplos

A partir de 2024, en la Universidad Rey Juan Carlos organizamos talleres educativos de origami con futuros profesores. En ellos, estudiantes de pregrado y posgrado de matemáticas descubren cómo una simple hoja de papel puede conducir a situaciones de aprendizaje significativas.

Alumnos de Educación Primaria de la URJC elaboran un hexágono regular utilizando origami. Semana de la Cultura URJC 2024.

Veamos algunos ejemplos:

1. Fracciones, potencias… y más

Empezamos con un cuadrado de papel. Si lo doblamos por la mitad, obtendremos 2 partes iguales. Si lo volvemos a doblar en la misma dirección, obtenemos 4. Y si repetimos el proceso una vez más, obtenemos 8 partes iguales (rectángulos). Cuando abres el papel, estas divisiones aparecen claramente marcadas.

Este sencillo proceso le permite trabajar varios conceptos a la vez. Por un lado, las fracciones: que representan, por ejemplo, 5/8 consisten simplemente en colorear tres de esas ocho partes. Pero también aparece la potencia 2: cada vez que duplicamos, duplicamos el número de partes (2, 4, 8, 16…).

¿Cuántas veces puedes doblar una hoja de papel? La respuesta te sorprenderá.

Incluso podemos ir un paso más allá y utilizar uno de los lados del cuadrado como si fuera una “recta numérica”: un extremo representa el 0 y el otro el 1. Las marcas de superposición nos permiten colocar fracciones directamente sobre esa “recta”.

El desafío se vuelve más interesante cuando intentamos dividir el papel en un número que no sea una potencia de 2. Por ejemplo, ¿cómo se divide en 5 partes iguales? Parece difícil al principio, pero ¿y si te dijera que con solo trazar una línea en un papel puedes lograrlo?

Figura 1. Actividad realizada por un grupo de alumnos de la Escuela Primaria de la URJC en la asignatura Matemáticas y su didáctica II: el procedimiento de dividir un cuadrado de papel en 5 rectángulos iguales mediante pliegues. Primero se divide el cuadrado en 8 rectángulos iguales (ya que la primera potencia de 2 es mayor que 5), luego se une la esquina inferior izquierda al punto correspondiente a la quinta marca del lado superior contando desde la izquierda y se dobla el papel siguiendo esa línea. Este pliegue corta los pliegues verticales iniciales en 4 puntos y forma cuatro pliegues verticales a partir de ellos, formando 5 partes iguales. La última imagen muestra la fracción 2/5.

Si quisiéramos dividir un cuadrado de papel en 3 partes iguales el proceso se simplifica porque sólo tendríamos que dividirlo en 4 rectángulos iguales.

Figura 2. Procedimiento para doblar un cuadrado de papel en 3 rectángulos iguales. Primero se divide el cuadrado en 4 rectángulos iguales (ya que la primera potencia de 2 es mayor que 3), luego se une la esquina inferior izquierda al punto correspondiente a la tercera marca del lado superior contando desde la izquierda y se dobla el papel siguiendo esa línea. Este pliegue corta los pliegues verticales iniciales en 2 puntos y hace 2 pliegues verticales a partir de ellos, formando 3 partes iguales. La última imagen muestra la fracción 2/3.

Pero hay más. Si combinamos pliegues en dos direcciones (por ejemplo, 8 divisiones verticales y 5 horizontales), obtenemos una cuadrícula de 40 partes iguales (ver Figura 3 en Figura 1). Así que representar una fracción como 15/40 ya no parece imposible: simplemente colorea 15 de estas pequeñas celdas.

Además, esta construcción nos permite visualizar algo que normalmente se aprende de forma abstracta: el producto de fracciones. Por ejemplo, 15/40 puede entenderse como el resultado de multiplicar 5/8 por 3/5. Al teñir ambas fracciones en diferentes direcciones, las áreas coincidentes son exactamente 15 (Figura 3).

Figura 3. Actividad realizada por un grupo de alumnos de Educación Primaria de la URJC (Semana de la Cultura URJC 2024): presentar el producto de fracciones 5/8 × 3/5 mediante origami. En la imagen de la izquierda colorea las áreas correspondientes a ambas fracciones, dando como resultado 15/40 sin simplificar. En la imagen de la derecha puedes ver que esas mismas 15 celdas equivalen a 3/8 del cuadrado total, ya que terminan exactamente tres de los ocho rectángulos generados por los pliegues iniciales.

Lo que es una operación en un cuaderno, aquí se convierte en una experiencia visual.

2. Geometría escondida en un rastreador de papel.

Los cómics clásicos esconden más matemáticas de las que parece. Cuando lo construyes y luego deshaces los pliegues, aparece una cuadrícula de 32 triángulos iguales (Figura 4). Esta estructura permite trabajar con fracciones (por ejemplo, para representar 7/32 bastaría con pintar 7 de 32 triángulos), pero también con figuras geométricas. Siguiendo las líneas de pliegue, los estudiantes pueden construir triángulos, rombos, romboides y trapecios.

También puedes trabajar en un concepto de área. Durante la construcción de los comecocos se generan sucesivos cuadrados, cada vez más pequeños. Cuando los comparamos, se nota que el segundo tiene la mitad del área del primero, y el tercero tiene un cuarto del primero y la mitad del área del segundo. Para demostrar esto, basta con mirar la fracción que representa cada uno de estos cuadrados contando los triángulos en la cuadrícula final (Figuras 4 y 5).

Figura 4. Pliegues obtenidos tras la construcción de los comecocos.

Figura 5. Pliegues obtenidos tras la construcción de los comecocos reproducidos con GeoGebra. En la primera iteración, el cuadrado formado consta de 16 de un total de 32 triángulos (mitades). En la segunda iteración, el cuadrado contiene 8 triángulos, lo que corresponde a una cuarta parte del total y la mitad de los triángulos del cuadrado anterior. 3. Del avión al espacio

Origami también te permite salir del avión. Se pueden utilizar diferentes técnicas para construir polígonos y poliedros regulares (Figura 6).

Figura 6. Actividades realizadas por un grupo de alumnos del Departamento de Educación Infantil y Infantil de la URJC en la asignatura Desarrollo del pensamiento matemático: de izquierda a derecha, un pentágono regular, un hexágono regular y cubos elaborados con origami a partir de cuadrados de papel.

En algunos casos, se utilizan pequeños módulos de papel que luego se ensamblan para formar estructuras tridimensionales más complejas. Esta técnica se conoce como origami modular.

Cubo Sonobe realizado mediante origami modular.

Un dodecaedro elaborado con origami modular. El valor del origami en el aula

Origami fomenta habilidades como la concentración, la memoria, la visualización espacial o el razonamiento lógico y secuencial, permitiendo a los estudiantes explorar y comprender conceptos de una forma práctica y divertida.

Incorporarlo a la enseñanza de las matemáticas no significa renunciar al rigor ni sustituir el lenguaje simbólico: significa ampliarlo y enriquecerlo.

Además: si las fracciones nos rodean en nuestra vida diaria, ¿por qué son difíciles de entender en clase?

Su accesibilidad lo hace especialmente valioso, ya que no requiere materiales complejos ni tecnología avanzada, lo que permite su implementación en cualquier aula. Pero la verdadera transformación no está en el papel, sino en la forma de enseñar; en comprender que las matemáticas no son solo cálculos y fórmulas, sino algo que se puede construir con tus propias manos.

Por tanto, para que esta innovación tenga un impacto real, debe formar parte de la formación inicial docente. Es importante que los docentes comprendan el significado y la base didáctica de estas estrategias, así como su capacidad para generar aprendizajes activos y duraderos.